Pythagoras: Teorema, Rumus, dan Contoh Soal

-

Pada materi bangun datar tentu kalian mempelajari materi segitiga. Terdapat beberapa jenis segitiga diantaranya segitiga lancip, segitiga tumpul, dan segitiga siku-siku.

Terdapat salah satu materi yang berkaitan degan segitiga siku-siku yaitu teorema Pythagoras. Teorema ini berkaitan dengan salah satu tokoh matematika bernama Pythagoras.

Definisi Pythagoras

Pythagoras merupakan salah satu teorema atau aturan dalam matematika yang membahasa mengenai keterkaitan sisi-sisi segitiga, dalam hal ini merupakan segitiga siku-siku.

Teorema pythagoras ditemukan oleh seorang filsum Yunani bernama Pythagoras. Teorem ini ditemukan pada abad ke-6.

Perhatikan penjelasan mengenai contoh penerapan pythagoras berikut.

Penerapan Pythagoras

Contoh penerapan pythagoras dapat dilihat pada bidang pertukangan. Tukang bangunan biasanya menggunakan penggaris siku untuk menentukan bahwa sudut yang dibentuk oleh pondasi bangunan merupakan sudut siku-siku.

Selain itu, tukang biasanya juga membuat kerangka atap yang menerapkan konsep pythagoras.

Selain itu juga untuk menentukan jarak terdekat dari dua posisi dapat dengan mudah ditentukan menggunakan teorema pythagoras.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai teorema pythagoras.

Teorema Pythagoras

Teorema pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling berpenyiku.

Atau secara sederhana dapat dijelaskan bahwa jika sisi terpanjang segitiga siku-siku dikuadratkan maka akan sama dengan jumlah dari kuadrat sisi yang lainnya.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai rumus pythagoras.

Rumus Pythagoras

Dari pembuktian di atas dapat dirumuskan teorema pythagoras sebagai berikut.

Misalkan terdapat segitiga siku-siku dengan ukuran sisi masing-masing adalah a, b, dan c.

Segitiga pythagoras

Rumus Pythagoras dari segitiga siku-siku di atas adalah a2 + b2 = c2

Keterangan:

a, b, c  : ukuran sisi-sisi segitiga.

Bagaimana jika a2 + b2 < c2 atau a2 + b2 > c2?

  • Jika a2 + b2 < c2 maka jenis segitiganya adalah segitiga lancip.
  • Jika a2 + b2 > c2 maka jenis segitiganya adalah segitiga tumpul.
  • Jika a2 + b2 = c2 maka jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku.

Berikut akan dijelaskan salah satu pembuktian teorema pythagoras.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Terdapat banyak metode/cara dalam pembuktian teorema pythagoras. Pembuktian ini disebut sebagai pembuktian Bhaskara diambil dari nama penemunya yaitu Bhaskara dari India.

Perhatikan gambar berikut.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Pada gambar tersebut terdapat persegi dengan sisi berukuran c dan persegi kecil dengan ukuran (b – a), serta empat buah segitiga siku-siku dengan ukuran sisi a, b, dan c. Pembuktian teorema pythagorasn yaitu sebagai berikut.

Luas persegi kecil + (4 x luas segitiga siku-siku) = Luas persegi besar

(b – a) (b – a) + ( 4 x ½ x a x b) = c x c

b2 + a2 – 2ab + 2ab = c2

b2 + a2 = c2

atau dapat ditulis

a2 + b2 = c2

Keterangan:

a, b, c : ukuran sisi-sisi segitiga/persegi.

Selanjutnya akan dibahas mengenai tripel Pythagoras. Baca juga Persamaan Kuadrat.

Tripel Pythagoras

Apa itu tripel pythagoras?

Tripel pythagoras merupakan kombinasi tiga bilangan yang menyatakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sehingga berlaku a2 + b2 = c2.

Berapa saja kombinasi dari tripel pythagoras?

Terdapat banyak sekali tripel pythagoras. Perhatikan beberapa tripel pythagoras berikut.

  • Bilangan 3, 4, 5. Karena 32 + 42 = 52.
  • Bilangan 5, 12, 13. Karena 52 + 122 = 132
  • Bilangan 7, 24, 25. Karena 72 + 242 = 252.
  • Bilangan 8, 15, 17. Karena 82 + 152 = 172.
  • Bilangan 9, 40, 41. Karena 92 + 402 = 412.

Dan masih banyak tripel pythagoras yang lainnya.

Tripel pythagoras berlaku kelipatan, misalnya salah satu tripel pythagoras adalah 3, 4, dan 5. Tripel pythagoras kelipatannya yaitu (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), dan sebagainya.

Terdapat beberapa contoh soal pythagoras. Kerjakan soal berikut, kemudian cek jawabanmu dengan pembahasan yang ada.

Contoh Soal Pythagoras

1. Terdapat suatu segitiga siku-siku dengan ukuran dua sisi yang berpenyiku adalah 21 cm dan 28 cm. Tentukan panjang sisi yang lainnya.

Pembahasan

Sisi yang dimaksud merupakan sisi miring segitiga siku-siku (hipotenusa).

Sehingga:

c2 = a2 + b2

= 212 + 282  = 441 + 784 = 1.225

c = √1.225 = 35 cm

Cara cepat:

Dengan menggunakan tripel (3, 4, 5) maka setiap sisi segitiga dikali dengan 7 sehingga

(3 x 7, 4 x 7, 5x 7) sehingga (21, 28, 35)

Panjang sisi yang lain adalah 35 cm.

2. Terdapat segitiga siku-siku sama kaki dengan ukuran sisi miringnya adalah 5√2 cm. Tentukan panjang sisi yang lainnya.

Pembahasan

Karena merupakan segitiga siku-siku sama kaki, maka panjang sisi yang berpenyiku sama. Sehingga:

Misalkan panjang sisi berpenyiku adalah a, dab panjang sisi miring adalah c.

a2 + a2 = c2

2 x a2 = (5√2)2

2 x a2 = 50

a2 = 25

a = ± 5

Karena panjang sisi tidak mungkin negatif, maka panjang sisi berpenyiku adalah 5 cm.

3. Diketahui ukuran dua sisi yang berpenyiku dari segitiga siku-siku adalah 12 cm dan 16 cm. Tentukan ukuran sisi yang lainnya.

Pembahasan

Ukuran sisi: 12 cm dan 16 cm

Ukuran sisi ketiga

c2 = a2 + b2

c2 = 122 + 162

c2 = 144 + 256 = 400

c = √400 = 20 cm

4. Diketahui suatu bayangan menara memiliki panjang 10 m, jika jarak ujung menara dengan ujung bayangan menara adalah 26 m, tentukan tinggi menara tersebut.

Pembahasan

c2 = a2 + b2

b2 = c2 – a2

b2 = 262 – 102

b2 = 676 – 100

b2 = 576

b = √576 = 24 m

5. Tentukan apakah ukuran sisi-sisi berikut merupakan tripel phytagoras.

12, 15,dan 20.

Pembahasan

Sisi terpanjang: 20

Sehingga,

122 + 152 = 144+ 225 = 369

202 = 400

Karena 122 + 152 ≠ 202 maka 12, 15, dan 20 bukan tripel phytagoras.

Mari kita simpulkan bersama.

Kesimpulan

  • Teorem pythagoras merupakan salah satu teorema atau aturan dalam matematika yang berkaitan dengan hubungan antar sisi segititas siku-siku.
  • Teorema pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya.

Rumus teorema pythagoras yaitu a2 + b2 = c2.

  • Beberapa tripel pythagoras yaitu (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), dan sebagainya. Tripel pythagoras berlaku kelipatannya.

Popular posts from this blog

Manusia Makhluk Sosial

-
Manusia sebagai makhluk sosial memiliki peran yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan bermasyarakat, manusia tidak bisa hidup sendiri dan membutuhkan interaksi dengan sesama. Interaksi sosial tersebut merupakan salah satu aspek yang membedakan manusia dengan makhluk hidup lainnya. Melalui interaksi sosial, manusia dapat saling berbagi pengetahuan, pengalaman, serta membangun hubungan yang harmonis antara satu dengan yang lainnya. Dalam artikel ini, akan dibahas mengenai pentingnya manusia sebagai makhluk sosial serta dampaknya terhadap perkembangan individu dan masyarakat secara umum. Salah satu alasan mengapa manusia sangat penting sebagai makhluk sosial adalah karena manusia memiliki kebutuhan akan rasa saling mengerti dan diterima oleh orang lain. Kehidupan manusia tidak akan lengkap tanpa adanya interaksi sosial yang memungkinkan mereka untuk berkomunikasi, berbagi, dan memperoleh dukungan emosional dari sesama. Ketika manusia dapat saling mengerti dan mene...
Read more

Ahli Matematika Paling Berjasa Sepanjang Masa

-
  Apa jadinya dunia tanpa ilmu   matematika ? Pasti, tidak akan semaju dan secanggih sekarang. Matematika digunakan di banyak bidang, seperti ilmu alam, teknik, kedokteran, keuangan, hingga ilmu sosial. Dari sekian banyak ahli matematika di dunia, inilah yang paling berjasa dan berpengaruh. Penasaran? Kenali lebih dekat, yuk! 1. Pythagoras Ahli matematika asal Yunani (570-495 SM) ini menciptakan zaman keemasan matematika berkat pengembangan logika numerik dan penemuan teorema geometri. Melansir laman  Brain Pickings , ide-idenya memengaruhi ilmuwan dan filsuf lain, seperti Plato, Copernicus, Descartes, Newton, Einstein, dan Kepler. Temuannya yang paling terkenal adalah teorema Pythagoras. Ini bisa digunakan di banyak bidang, seperti arsitektur, konstruksi, navigasi, pengukuran tanah, dan lainnya. Selain itu, Pythagoras juga memiliki pengaruh besar pada astronomi dan teori musik. 2. Archimedes Archimedes (287-212 SM) adalah penemu, ahli matematika, dan astronom yang lahir ...
Read more

Pengertian Dikotil dan Monokotil: Perbedaan dan Manfaatnya

-
  1. Apa Pengertian Dikotil dan Monokotil? Dikotil dan monokotil adalah dua jenis tumbuhan yang membedakan bentuk dari akar, daun, dan bunga. Dalam Bahasa Inggris dikotil adalah “Dicotyledons” dan monokotil adalah “Monocotyledons”. Secara harfiah, dikotil berasal dari kata “di” yang berarti dua dan “cotyledon” yang berarti penisilin. Sementara itu, monokotil berasal dari “mono” yang berarti satu dan “cotyledon”. 2. Apa Perbedaan Dikotil dan Monokotil? Terdapat beberapa perbedaan antara dikotil dan monokotil yang dapat dibedakan berdasarkan ciri-ciri fisik, seperti jumlah biji yang ada dalam benih, bentuk daun, dan jumlah pembuluh daun. Berikut ini adalah perbedaan antara dikotil dan monokotil: a. Jumlah Biji: Pada benih dikotil, terdapat dua biji dalam satu buah, sedangkan pada benih monokotil hanya terdapat satu biji dalam satu buah. b. Bentuk Daun: Daun pada dikotil biasanya berbentuk bulat atau oval, sedangkan pada monokotil biasanya berbentuk memanjang dan berujung runcing. c. ...
Read more